球的体积与表面积

球的体积和表面积的内容介绍 一、教材分析 本节内容是数学2第一章球的体积和表面积。通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求球的体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用． 二、教学目标  知识与技能 （1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识． （2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题． （3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式和面积公式的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想． 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心． 三、教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法． 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算． 四、学法和教学用具  学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤． 教学用具：旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识． 五、教学设计 教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式． 探究新知 1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行． 步骤： 第一步：分割 首先，把半球的垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面，如下图     所以，第i层“小圆片”下底面的半径和体积：   第二步：求和     第三步：化为准确的和  当时，即时，     得到定理：半径是Ｒ的球的体积 练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3) ． 2．球的表面积： 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。简单讲述中国魏晋时代的刘徽与“割圆术”．（不再具体证明） 半径为R的球的表面积为    练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是          ． 运用新知 典例分析:课本例4 巩固深化、反馈矫正 （1）方形的内切球和外接球的体积的比为           ，表面积比为          ． （2）球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．  （答案：2500πcm2） 分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径． 六、课堂小结： 1．了解球的体积、表面积推导的基本思路；  2．了解球的体积公式和表面积公式(不要求记忆公式)； 作业： B（1）、B（2） 【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣． 【设计意图】利用分割原理，通过对小圆片体积的计算，推导出球的体积公式，使学生知道知识的来龙去脉，提升学生的学习兴趣与信心，以及对新知识的探索发现能力． 【注意】由于学生的学习水平不一致，所以在实际教学中，需根据学生的具体学习能力而确定是否适合公式推到过程的学习 【设计意图】透过教师的讲解，让学生初步感受“分割”、“近似替代”、“取极限”等思想，渗透微积分思想． 【思考】：球的表面积推导过程是以什么量作为等量变换的？ 【设计意图】本题较易，主要考查有关球表面积和体积的计算．解决此类问题的关键是明确的结构特征．学生来独立完成，有利于培养学生问题解决的能力．在题目讲解过程中，可利用几何画板等多媒体工具将立体几何图形直观表示出来，给学生以直观感受，为加强学生的立体几何思维和空间想象能力提供基础． 【设计意图】让学生独立完成知识小结，可以逐步提高学生自我获取知识的能力．最后教师完善，使知识更系统化．